Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{d + k e^{d}}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{1}{d + k e^{d}}$ comme ${(d + k e^{d})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d \cdot d} [{(d + k e^{d})}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d \cdot d} [f (g (d))]$ est $f' (g (d)) g' (d)$ où $f (d) = d^{- 1}$ et $g (d) = d + k e^{d}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $d + k e^{d}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d \cdot d} [d + k e^{d}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d \cdot d} [d + k e^{d}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $d + k e^{d}$ .

$- {(d + k e^{d})}^{- 2} \frac{d}{d \cdot d} [d + k e^{d}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $d + k e^{d}$ par rapport à $d$ est $\frac{d}{d \cdot d} [d] + \frac{d}{d \cdot d} [k e^{d}]$ .

$- {(d + k e^{d})}^{- 2} (\frac{d}{d \cdot d} [d] + \frac{d}{d \cdot d} [k e^{d}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d \cdot d} [d^{n}]$ est $n d^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- {(d + k e^{d})}^{- 2} (1 + \frac{d}{d \cdot d} [k e^{d}])$

Étape 3.3

Comme $k$ est constant par rapport à $d$ , la dérivée de $k e^{d}$ par rapport à $d$ est $k \frac{d}{d \cdot d} [e^{d}]$ .

$- {(d + k e^{d})}^{- 2} (1 + k \frac{d}{d \cdot d} [e^{d}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d \cdot d} [a^{d}]$ est $a^{d} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- {(d + k e^{d})}^{- 2} (1 + k e^{d})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(d + k e^{d})}^{2}} (1 + k e^{d})$

Étape 5.2

Réorganisez les facteurs de $- \frac{1}{{(d + k e^{d})}^{2}} (1 + k e^{d})$ .

$- (1 + k e^{d}) \frac{1}{{(d + k e^{d})}^{2}}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$(- 1 \cdot 1 - (k e^{d})) \frac{1}{{(d + k e^{d})}^{2}}$

Étape 5.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(- 1 - (k e^{d})) \frac{1}{{(d + k e^{d})}^{2}}$

Étape 5.5

Multipliez $- 1 - k e^{d}$ par $\frac{1}{{(d + k e^{d})}^{2}}$ .

$\frac{- 1 - k e^{d}}{{(d + k e^{d})}^{2}}$

Étape 5.6

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - k e^{d}}{{(d + k e^{d})}^{2}}$

Étape 5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- k e^{d}$ .

$\frac{- 1 (1) - (k e^{d})}{{(d + k e^{d})}^{2}}$

Étape 5.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (k e^{d})$ .

$\frac{- 1 (1 + k e^{d})}{{(d + k e^{d})}^{2}}$

Étape 5.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1 + k e^{d}}{{(d + k e^{d})}^{2}}$