Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (x) \ln (5 x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \ln (5 x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (5 x)] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x]) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\sin (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x]) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$\sin (x) (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{5 x}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sin (x)}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.1

Associez $5$ et $\frac{\sin (x)}{5 x}$ .

$\frac{5 \sin (x)}{5 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \sin (x)}{5 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x)}{x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\sin (x)}{x} \cdot 1 + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.5

Multipliez $\frac{\sin (x)}{x}$ par $1$ .

$\frac{\sin (x)}{x} + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{x} + \ln (5 x) \cos (x)$

Étape 5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\cos (x) \ln (5 x) + \frac{\sin (x)}{x}$