Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (x) \csc (x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où

$f (x) = \sin (x)$ et

$g (x) = \csc (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2

La dérivée de

$\csc (x)$ par rapport à

$x$ est

$- \csc (x) \cot (x)$ .

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3

La dérivée de

$\sin (x)$ par rapport à

$x$ est

$\cos (x)$ .

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \cos (x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \cot (x) \csc (x) \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Réécrivez

$\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Étape 4.2.2

Réécrivez

$\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Étape 4.2.3

Multipliez

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Étape 4.2.3.1

Multipliez

$\frac{1}{\sin (x)}$ par

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Étape 4.2.3.2

Élevez

$\sin (x)$ à la puissance

$1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Étape 4.2.3.3

Élevez

$\sin (x)$ à la puissance

$1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Étape 4.2.3.4

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Étape 4.2.3.5

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de

$\sin (x)$ .

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Étape 4.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ dans le numérateur.

$\frac{- \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Étape 4.2.4.2

Factorisez

$\sin (x)$ à partir de

$\sin^{2} (x)$ .

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Étape 4.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Étape 4.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \csc (x)$

Étape 4.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \csc (x)$

Étape 4.2.6

Réécrivez

$\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 4.2.7

Associez

$\cos (x)$ et

$\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 4.3

Additionnez

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ et

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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