Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \sqrt[3]{x^{5} + 6 x}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{5} + 6 x}$ comme ${(x^{5} + 6 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{5} + 6 x)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x^{5} + 6 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{5} + 6 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{5} + 6 x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{5} + 6 x]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{5} + 6 x$ .

$\frac{1}{3} {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{5} + 6 x]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 6 x]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 6 x]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 6 x]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 6 x]$

Étape 6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 6 x]$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} {(x^{5} + 6 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 6 x]$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(x^{5} + 6 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x^{5} + 6 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{5} + 6 x]$

Étape 7.3

Placez ${(x^{5} + 6 x)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 6 x]$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} + 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{1}{3 {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{2}{3}}} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [6 x])$

Étape 10

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{2}{3}}} (5 x^{4} + 6 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{2}{3}}} (5 x^{4} + 6 \cdot 1)$

Étape 12

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{1}{3 {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{2}{3}}} (5 x^{4} + 6)$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{3 {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{2}{3}}} (5 x^{4} + 6)$ .

$(5 x^{4} + 6) \frac{1}{3 {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 13.2

Multipliez $5 x^{4} + 6$ par $\frac{1}{3 {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{5 x^{4} + 6}{3 {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{2}{3}}}$