Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{\sec (x)}{2 - \cos (x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 2 - \cos (x)$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] - \sec (x) \frac{d}{d x} [2 - \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \frac{d}{d x} [2 - \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.5

Multipliez.

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Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) + 1 \sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 3.5.2

Multipliez $\sec (x)$ par $1$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 \sec (x) - \cos (x) \sec (x)) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Associez $2$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2}{\cos (x)} \tan (x) - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.1.3

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.1.4

Multipliez $\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 5.3.1.4.1

Multipliez $\frac{2}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.1.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.1.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.1.5

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.1.5.1

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - (\cos (x) \sec (x)) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.1.5.2

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - (\sec (x) \cos (x)) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.1.5.3

Réécrivez $- \cos (x) \sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - (\frac{1}{\cos (x)} \cos (x)) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.1.5.4

Annulez les facteurs communs.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - 1 \cdot 1 \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - 1 \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.1.7

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.1.8

Réécrivez $- 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ comme $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.1.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sec (x) \sin (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.1.10

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \sin (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.1.11

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin (x) - \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.3

Soustrayez $\sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.5.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.5.2

Séparez les fractions.

$\frac{\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.5.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{\frac{2}{\cos (x)} \tan (x) - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.5.4

Séparez les fractions.

$\frac{\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.5.5

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{2}{1} \sec (x) \tan (x) - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.5.6

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.5.7

Séparez les fractions.

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) - (\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.5.8

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) - (\frac{2}{1} \tan (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.5.9

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) - (2 \tan (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.3.5.10

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) - 2 \tan (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Factorisez $2 \tan (x)$ à partir de $2 \sec (x) \tan (x) - 2 \tan (x)$ .

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Étape 5.4.1.1

Factorisez $2 \tan (x)$ à partir de $2 \sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{2 \tan (x) (\sec (x)) - 2 \tan (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.4.1.2

Factorisez $2 \tan (x)$ à partir de $- 2 \tan (x)$ .

$\frac{2 \tan (x) (\sec (x)) + 2 \tan (x) (- 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.4.1.3

Factorisez $2 \tan (x)$ à partir de $2 \tan (x) (\sec (x)) + 2 \tan (x) (- 1)$ .

$\frac{2 \tan (x) (\sec (x) - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.4.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 \tan (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.4.3

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.4.4

Associez $2$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.5

Factorisez $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ à partir de $\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.6

Multipliez $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{2 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\cos (x) {(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.7

Séparez les fractions.

$\frac{2 (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 5.8

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{2 (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}} \tan (x)$

Étape 5.9

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{2 (\sec (x) - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}} \tan (x)$

Étape 5.10

Associez $\frac{2 (\sec (x) - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$ et $\tan (x)$ .

$\frac{2 (\sec (x) - 1) \tan (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Étape 5.11

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{2 (\sec (x) - 1) \tan (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{2 \tan (x) (\sec (x) - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$