Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2}{\sqrt[3]{x}} + 3 \cos (x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2}{\sqrt[3]{x}} + 3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x}}] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x}}] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x}}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Étape 2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.6.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 2$ .

$2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.8

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.10.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.12

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.13

Associez $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.14

Multipliez $x^{- \frac{2}{3}}$ par $x^{- \frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.14.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.14.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.14.3

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.14.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.15

Placez $x^{- \frac{4}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.16

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.17

Associez $- 2$ et $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{- 2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 2.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Étape 3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + 3 (- \sin (x))$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 3 \sin (x)$