Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x} e^{x}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 10

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + e^{x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 11

Associez $e^{x}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + \frac{e^{x} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 12

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.1

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} e^{x} + \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$