Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{8} {(x - 1)}^{7}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{8}$ et $g (x) = {(x - 1)}^{7}$ .

$x^{8} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{7}] + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$x^{8} (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$x^{8} (7 u^{6} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \cdot 1) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 3.4.2

Multipliez $7$ par $1$ .

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} (8 x^{7})$

Étape 3.6

Déplacez $8$ à gauche de ${(x - 1)}^{7}$ .

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 \cdot {(x - 1)}^{7} x^{7}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Factorisez $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ à partir de $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ à partir de $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6})$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$

Étape 4.1.2

Factorisez $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ à partir de $8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$

Étape 4.1.3

Factorisez $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ à partir de $x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7) + 8 (x - 1))$

Étape 4.2

Déplacez $7$ à gauche de $x$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$