Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (e^{x^{2}} + 1)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = e^{x^{2}} + 1$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $e^{x^{2}} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} + 1]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} + 1]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $e^{x^{2}} + 1$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} + 1]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x^{2}} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2}$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2}$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} (2 x) + 0)$

Étape 4.3

Associez les fractions.

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Étape 4.3.1

Additionnez $e^{x^{2}} (2 x)$ et $0$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} (2 x))$

Étape 4.3.2

Associez $e^{x^{2}}$ et $\frac{1}{e^{x^{2}} + 1}$ .

$\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1} (2 x)$

Étape 4.3.3

Associez $2$ et $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$ .

$\frac{2 e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1} x$

Étape 4.3.4

Associez $\frac{2 e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$ et $x$ .

$\frac{2 e^{x^{2}} x}{e^{x^{2}} + 1}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x^{2}} x$ .

$\frac{2 x e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$

Étape 5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 e^{x^{2}} x}{e^{x^{2}} + 1}$

Étape 5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{2 e^{x^{2}} x}{e^{x^{2}} + 1}$ .

$\frac{2 x e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$