Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (3 x + 4) (4 x - 5)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 3 x + 4$ et $g (x) = 4 x - 5$ .

$(3 x + 4) \frac{d}{d x} [4 x - 5] + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$(3 x + 4) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Étape 2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x + 4) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(3 x + 4) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Étape 2.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$(3 x + 4) (4 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Étape 2.5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(3 x + 4) (4 + 0) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$(3 x + 4) \cdot 4 + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Étape 2.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $3 x + 4$ .

$4 \cdot (3 x + 4) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 (3 x + 4) + (4 x - 5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (3 x + 4) + (4 x - 5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (3 x + 4) + (4 x - 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.10

Multipliez $3$ par $1$ .

$4 (3 x + 4) + (4 x - 5) (3 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.11

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 (3 x + 4) + (4 x - 5) (3 + 0)$

Étape 2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.12.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$4 (3 x + 4) + (4 x - 5) \cdot 3$

Étape 2.12.2

Déplacez $3$ à gauche de $4 x - 5$ .

$4 (3 x + 4) + 3 \cdot (4 x - 5)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (3 x) + 4 \cdot 4 + 3 (4 x - 5)$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 (3 x) + 4 \cdot 4 + 3 (4 x) + 3 \cdot - 5$

Étape 3.3

Associez des termes.

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Étape 3.3.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x + 4 \cdot 4 + 3 (4 x) + 3 \cdot - 5$

Étape 3.3.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$12 x + 16 + 3 (4 x) + 3 \cdot - 5$

Étape 3.3.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 x + 16 + 12 x + 3 \cdot - 5$

Étape 3.3.4

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$12 x + 16 + 12 x - 15$

Étape 3.3.5

Additionnez $12 x$ et $12 x$ .

$24 x + 16 - 15$

Étape 3.3.6

Soustrayez $15$ de $16$ .

$24 x + 1$