Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x} - e^{y} = x - y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (e^{x} - e^{y}) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - e^{y}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{y}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{y}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

$e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$e^{x} - (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$e^{x} - e^{y} y'$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- e^{y} y' + e^{x}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$1 - y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- e^{y} y' + e^{x} = 1 - y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{y} y' + e^{x}$ .

$- y' e^{y} + e^{x} = 1 - y'$

Étape 5.2

Ajoutez $y'$ aux deux côtés de l’équation.

$- y' e^{y} + e^{x} + y' = 1$

Étape 5.3

Soustrayez $e^{x}$ des deux côtés de l’équation.

$- y' e^{y} + y' = 1 - e^{x}$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $- y' e^{y} + y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $- y' e^{y}$ .

$y' (- 1 e^{y}) + y' = 1 - e^{x}$

Étape 5.4.2

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$y' (- 1 e^{y}) + y' = 1 - e^{x}$

Étape 5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' (- 1 e^{y}) + y' \cdot 1 = 1 - e^{x}$

Étape 5.4.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 1 e^{y}) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 1 e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$

Étape 5.5

Réécrivez $- 1 e^{y}$ comme $- e^{y}$ .

$y' (- e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$

Étape 5.6

Divisez chaque terme dans $y' (- e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$ par $- e^{y} + 1$ et simplifiez.

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Étape 5.6.1

Divisez chaque terme dans $y' (- e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$ par $- e^{y} + 1$ .

$\frac{y' (- e^{y} + 1)}{- e^{y} + 1} = \frac{1}{- e^{y} + 1} + \frac{- e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Étape 5.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun de $- e^{y} + 1$ .

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Étape 5.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- e^{y} + 1)}{- e^{y} + 1} = \frac{1}{- e^{y} + 1} + \frac{- e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Étape 5.6.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{- e^{y} + 1} + \frac{- e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Étape 5.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{1}{- e^{y} + 1} - \frac{e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Étape 5.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Étape 5.6.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- e^{y}$ .

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- (e^{y}) + 1}$

Étape 5.6.3.4

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- (e^{y}) - 1 (- 1)}$

Étape 5.6.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (e^{y}) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- (e^{y} - 1)}$

Étape 5.6.3.6

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.6.3.6.1

Réécrivez $- (e^{y} - 1)$ comme $- 1 (e^{y} - 1)$ .

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- 1 (e^{y} - 1)}$

Étape 5.6.3.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{1 - e^{x}}{e^{y} - 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 - e^{x}}{e^{y} - 1}$