Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x^{2} - 9$ .

$\frac{(x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 2.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2} - 9$ .

$\frac{3 \cdot (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 x^{3} x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 (x^{1} x^{3})}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 x^{1 + 3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 5

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 x^{2} + 3 \cdot - 9) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 9 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot - 9 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 6.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{2 + 2} + 3 \cdot - 9 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 6.3.1.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 3 \cdot - 9 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 6.3.1.2

Multipliez $3$ par $- 9$ .

$\frac{3 x^{4} - 27 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 6.3.2

Soustrayez $2 x^{4}$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} - 27 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 6.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - 27 x^{2}$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} - 27 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 6.4.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 27 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 27}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 6.4.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 27$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 6.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.5.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 3^{2})}^{2}}$

Étape 6.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{((x + 3) (x - 3))}^{2}}$

Étape 6.5.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$