Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- x^{- 2} - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$- x^{- 2} - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- x^{- 2} - {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 3.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 3.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 2} - x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 3.4.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- x^{- 2} - x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- x^{- 2} - 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{- 2} - 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 3.8

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

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Étape 4.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{3}$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} - {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{3}$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})$

Étape 4.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 4.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} - x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})$

Étape 4.4.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} - x^{- 6} (3 x^{2})$

Étape 4.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} - 3 x^{- 6} x^{2}$

Étape 4.6

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.6.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} - 3 (x^{2} x^{- 6})$

Étape 4.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} - 3 x^{2 - 6}$

Étape 4.6.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

Étape 5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - 2 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

Étape 6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - 2 \frac{1}{x^{3}} - 3 x^{- 4}$

Étape 7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - 2 \frac{1}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 8

Associez des termes.

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Étape 8.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 8.3

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

Étape 8.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$