Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} - 25}{x + 5}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 25$ et $g (x) = x + 5$ .

$\frac{(x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25] - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{(x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 25]) - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $- 25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 5) (2 x + 0) - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(x + 5) (2 x) - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x + 5$ .

$\frac{2 \cdot (x + 5) x - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{2 (x + 5) x - (x^{2} - 25) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 5) x - (x^{2} - 25) (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 2.7

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x + 5) x - (x^{2} - 25) (1 + 0)}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 (x + 5) x - (x^{2} - 25) \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 2.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 (x + 5) x - (x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 5) x - (x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 5 x - (x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 5 x - x^{2} - - 25}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 5 x - x^{2} - - 25}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 3.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 5 x - x^{2} - - 25}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{2 x^{2} + 10 x - x^{2} - - 25}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 3.4.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 25$ .

$\frac{2 x^{2} + 10 x - x^{2} + 25}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 25}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 3.5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.5.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 5^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 3.5.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Étape 3.5.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 3.5.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 5$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de ${(x + 5)}^{2}$ .

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Étape 3.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 3.6.2

Réécrivez l’expression.

$1$