Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (6 x + 5) (x^{3} - 2)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 6 x + 5$ et $g (x) = x^{3} - 2$ .

$(6 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2] + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(6 x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$(6 x + 5) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Étape 2.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(6 x + 5) (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$(6 x + 5) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Étape 2.4.2

Déplacez $3$ à gauche de $6 x + 5$ .

$3 \cdot (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 2.6

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 2.8

Multipliez $6$ par $1$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 2.9

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 + 0)$

Étape 2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.10.1

Additionnez $6$ et $0$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) \cdot 6$

Étape 2.10.2

Déplacez $6$ à gauche de $x^{3} - 2$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + 6 \cdot (x^{3} - 2)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(3 (6 x) + 3 \cdot 5) x^{2} + 6 (x^{3} - 2)$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 (x^{3} - 2)$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Étape 3.4

Associez des termes.

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Étape 3.4.1

Multipliez $6$ par $3$ .

$18 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Étape 3.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$18 (x^{2} x) + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$18 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Étape 3.4.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$18 x^{2 + 1} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Étape 3.4.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$18 x^{3} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Étape 3.4.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$18 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Étape 3.4.4

Multipliez $6$ par $- 2$ .

$18 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x^{3} - 12$

Étape 3.4.5

Additionnez $18 x^{3}$ et $6 x^{3}$ .

$24 x^{3} + 15 x^{2} - 12$