Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (11 x^{2} - 22 x + 22) e^{x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 11 x^{2} - 22 x + 22$ et $g (x) = e^{x}$ .

$(11 x^{2} - 22 x + 22) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [11 x^{2} - 22 x + 22]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(11 x^{2} - 22 x + 22) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [11 x^{2} - 22 x + 22]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $11 x^{2} - 22 x + 22$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 22 x] + \frac{d}{d x} [22]$ .

$(11 x^{2} - 22 x + 22) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 22 x] + \frac{d}{d x} [22])$

Étape 3.2

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11 x^{2}$ par rapport à $x$ est $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(11 x^{2} - 22 x + 22) e^{x} + e^{x} (11 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 22 x] + \frac{d}{d x} [22])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(11 x^{2} - 22 x + 22) e^{x} + e^{x} (11 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 22 x] + \frac{d}{d x} [22])$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $11$ .

$(11 x^{2} - 22 x + 22) e^{x} + e^{x} (22 x + \frac{d}{d x} [- 22 x] + \frac{d}{d x} [22])$

Étape 3.5

Comme $- 22$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 22 x$ par rapport à $x$ est $- 22 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(11 x^{2} - 22 x + 22) e^{x} + e^{x} (22 x - 22 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [22])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(11 x^{2} - 22 x + 22) e^{x} + e^{x} (22 x - 22 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [22])$

Étape 3.7

Multipliez $- 22$ par $1$ .

$(11 x^{2} - 22 x + 22) e^{x} + e^{x} (22 x - 22 + \frac{d}{d x} [22])$

Étape 3.8

Comme $22$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $22$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(11 x^{2} - 22 x + 22) e^{x} + e^{x} (22 x - 22 + 0)$

Étape 3.9

Additionnez $22 x - 22$ et $0$ .

$(11 x^{2} - 22 x + 22) e^{x} + e^{x} (22 x - 22)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$11 x^{2} e^{x} - 22 x e^{x} + 22 e^{x} + e^{x} (22 x - 22)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$11 x^{2} e^{x} - 22 x e^{x} + 22 e^{x} + e^{x} (22 x) + e^{x} \cdot - 22$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Déplacez $- 22$ à gauche de $e^{x}$ .

$11 x^{2} e^{x} - 22 x e^{x} + 22 e^{x} + e^{x} (22 x) - 22 \cdot e^{x}$

Étape 4.3.2

Additionnez $- 22 x e^{x}$ et $e^{x} (22 x)$ .

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Étape 4.3.2.1

Déplacez $e^{x}$ .

$11 x^{2} e^{x} + 22 e^{x} - 22 x e^{x} + 22 x e^{x} - 22 e^{x}$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $- 22 x e^{x}$ et $22 x e^{x}$ .

$11 x^{2} e^{x} + 22 e^{x} + 0 - 22 e^{x}$

Étape 4.3.3

Additionnez $11 x^{2} e^{x} + 22 e^{x}$ et $0$ .

$11 x^{2} e^{x} + 22 e^{x} - 22 e^{x}$

Étape 4.3.4

Soustrayez $22 e^{x}$ de $22 e^{x}$ .

$11 x^{2} e^{x} + 0$

Étape 4.3.5

Additionnez $11 x^{2} e^{x}$ et $0$ .

$11 x^{2} e^{x}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $11 x^{2} e^{x}$ .

$11 e^{x} x^{2}$

Étape 4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $11 e^{x} x^{2}$ .

$11 x^{2} e^{x}$