Calcul infinitésimal Exemples

$f (t) = t \sqrt{16 - t^{2}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{16 - t^{2}}$ comme ${(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [t {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$t \frac{d}{d t} [{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ et $g (t) = 16 - t^{2}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $16 - t^{2}$ .

$t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $16 - t^{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(16 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$t (\frac{{(16 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 8.3

Placez ${(16 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t (\frac{1}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 8.4

Associez $\frac{1}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $t$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}] + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 - t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [16] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [16] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 10

Comme $16$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $16$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- t^{2}] + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t^{2}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 t)) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 14

Associez les fractions.

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Étape 14.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 14.2

Associez $- 2$ et $\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} t + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 14.3

Associez $\frac{- 2 t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $t$ .

$\frac{- 2 t \cdot t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 15

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 (t^{1} t)}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 16

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 (t^{1} t^{1})}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 2 t^{1 + 1}}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 18

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 2 t^{2}}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 19

Factorisez $2$ à partir de $- 2 t^{2}$ .

$\frac{2 (- t^{2})}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 20

Annulez les facteurs communs.

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Étape 20.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- t^{2})}{2 ({(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 20.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- t^{2})}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 20.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- t^{2}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 21

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{t^{2}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 22

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{t^{2}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 23

Multipliez ${(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$- \frac{t^{2}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 24

Pour écrire ${(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t^{2}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- t^{2} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 26

Multipliez ${(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 26.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- t^{2} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 26.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- t^{2} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 26.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- t^{2} + {(16 - t^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 26.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{- t^{2} + {(16 - t^{2})}^{1}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 27

Simplifiez ${(16 - t^{2})}^{1}$ .

$\frac{- t^{2} + 16 - t^{2}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 28

Soustrayez $t^{2}$ de $- t^{2}$ .

$\frac{- 2 t^{2} + 16}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 29

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2 t^{2} + 16}{{(- t^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$