Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (x^{2} - 2 x + 2) e^{x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} - 2 x + 2$ et $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 3.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 3.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 + 0)$

Étape 3.7

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 2$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \cdot e^{x}$

Étape 4.3.2

Additionnez $- 2 x e^{x}$ et $e^{x} (2 x)$ .

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Étape 4.3.2.1

Déplacez $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 x e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $- 2 x e^{x}$ et $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 0 - 2 e^{x}$

Étape 4.3.3

Additionnez $x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$ et $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 e^{x}$

Étape 4.3.4

Soustrayez $2 e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0$

Étape 4.3.5

Additionnez $x^{2} e^{x}$ et $0$ .

$x^{2} e^{x}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2}$

Étape 4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{2}$ .

$x^{2} e^{x}$