Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (2 x + 1) (3 x - 2)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 2 x + 1$ et $g (x) = 3 x - 2$ .

$(2 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 2] + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(2 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$(2 x + 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 2.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(2 x + 1) (3 + 0) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$(2 x + 1) \cdot 3 + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 2.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $2 x + 1$ .

$3 \cdot (2 x + 1) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 (2 x + 1) + (3 x - 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (2 x + 1) + (3 x - 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (2 x + 1) + (3 x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$3 (2 x + 1) + (3 x - 2) (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 (2 x + 1) + (3 x - 2) (2 + 0)$

Étape 2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.12.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$3 (2 x + 1) + (3 x - 2) \cdot 2$

Étape 2.12.2

Déplacez $2$ à gauche de $3 x - 2$ .

$3 (2 x + 1) + 2 \cdot (3 x - 2)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 2 (3 x - 2)$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 2$

Étape 3.3

Associez des termes.

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Étape 3.3.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + 3 \cdot 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$6 x + 3 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x + 3 + 6 x + 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$6 x + 3 + 6 x - 4$

Étape 3.3.5

Additionnez $6 x$ et $6 x$ .

$12 x + 3 - 4$

Étape 3.3.6

Soustrayez $4$ de $3$ .

$12 x - 1$