Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} \arctan (9 x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \arctan (9 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\arctan (9 x)] + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = 9 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [9 x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + {(9 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Factorisez $9$ à partir de $9 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + {(9 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $9 (x)$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + 9^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.1.2

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + 81 x^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{1}{1 + 81 x^{2}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{1 + 81 x^{2}} \frac{d}{d x} [9 x] + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{1 + 81 x^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.4

Associez $9$ et $\frac{x^{2}}{1 + 81 x^{2}}$ .

$\frac{9 x^{2}}{1 + 81 x^{2}} \frac{d}{d x} [x] + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{9 x^{2}}{1 + 81 x^{2}} \cdot 1 + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.6

Multipliez $\frac{9 x^{2}}{1 + 81 x^{2}}$ par $1$ .

$\frac{9 x^{2}}{1 + 81 x^{2}} + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{9 x^{2}}{1 + 81 x^{2}} + \arctan (9 x) (2 x)$

Étape 4

Pour écrire $\arctan (9 x) (2 x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + 81 x^{2}}{1 + 81 x^{2}}$ .

$\frac{9 x^{2}}{1 + 81 x^{2}} + \frac{\arctan (9 x) (2 x) (1 + 81 x^{2})}{1 + 81 x^{2}}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 x^{2} + \arctan (9 x) (2 x) (1 + 81 x^{2})}{1 + 81 x^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 x^{2} + \arctan (9 x) (2 x) \cdot 1 + \arctan (9 x) (2 x) (81 x^{2})}{1 + 81 x^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x \cdot 1 + \arctan (9 x) (2 x) (81 x^{2})}{1 + 81 x^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + \arctan (9 x) (2 x) (81 x^{2})}{1 + 81 x^{2}}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + \arctan (9 x) (2 (x^{2} x)) \cdot 81}{1 + 81 x^{2}}$

Étape 6.2.1.3.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.2.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + \arctan (9 x) (2 (x^{2} x^{1})) \cdot 81}{1 + 81 x^{2}}$

Étape 6.2.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + \arctan (9 x) (2 x^{2 + 1}) \cdot 81}{1 + 81 x^{2}}$

Étape 6.2.1.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + \arctan (9 x) (2 x^{3}) \cdot 81}{1 + 81 x^{2}}$

Étape 6.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + 2 \arctan (9 x) x^{3} \cdot 81}{1 + 81 x^{2}}$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $81$ par $2$ .

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + 162 \arctan (9 x) x^{3}}{1 + 81 x^{2}}$

Étape 6.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + 162 \arctan (9 x) x^{3}$ .

$\frac{9 x^{2} + 2 x \arctan (9 x) + 162 x^{3} \arctan (9 x)}{1 + 81 x^{2}}$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{9 x^{2} + 2 x \arctan (9 x) + 162 x^{3} \arctan (9 x)}{81 x^{2} + 1}$