Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x + 7}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 7}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 7$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7] - (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7] - (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7] - (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7] - (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Étape 4

Simplifiez

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7] - (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) - (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [7]) - (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 7

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 8.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Étape 10

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Étape 11

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Étape 12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Étape 13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Étape 13.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Étape 14

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 7) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Étape 15

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 7) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Étape 16

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - (x + 7) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 7) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 17.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 17.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.3.1.1

Associez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 17.3.1.2

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 17.3.1.3

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 17.3.1.3.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 17.3.1.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 17.3.1.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 17.3.1.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 17.3.1.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 17.3.1.3.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 17.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 17.3.1.5

Associez $- 7$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 17.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 17.3.2

Pour écrire $x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 17.3.3

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 17.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 17.3.5

Soustrayez $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

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Étape 17.3.5.1

Remettez dans l’ordre $x^{\frac{1}{2}}$ et $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 17.3.5.2

Soustrayez $x^{\frac{1}{2}}$ de $2 \cdot x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 17.4

Associez des termes.

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Étape 17.4.1

Multipliez $\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 17.4.2

Associez.

$\frac{2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 17.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 17.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (- \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 17.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 (- \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 17.4.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 17.4.6

Associez $- 2$ et $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 \cdot 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 17.4.7

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 14}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 17.4.8

Factorisez $2$ à partir de $- 14$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 17.4.9

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.4.9.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 7}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x}$

Étape 17.4.9.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 17.4.9.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 7}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 17.4.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 17.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.5.1

Pour écrire $x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 17.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 7}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 17.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.5.3.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 17.5.3.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 7}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 17.5.3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} - 7}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 17.5.3.1.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2}} - 7}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 17.5.3.1.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{x^{1} - 7}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 17.5.3.2

Simplifiez $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x - 7}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 17.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{x - 7}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Étape 17.7

Multipliez $\frac{x - 7}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$ .

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Étape 17.7.1

Multipliez $\frac{x - 7}{x^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{x - 7}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

Étape 17.7.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 17.7.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x - 7}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 17.7.2.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 17.7.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x - 7}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 17.7.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x - 7}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 17.7.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x - 7}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 17.7.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 7}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

Étape 17.7.2.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x - 7}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Étape 17.8

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$