Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x - 1}{x - 6}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 1$ et $g (x) = x - 6$ .

$\frac{(x - 6) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 6) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - 6) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.4.2

Multipliez $x - 6$ par $1$ .

$\frac{x - 6 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{x - 6 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x - 6 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.7

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x - 6 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x - 6 - (x - 1) \cdot 1}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x - 6 - (x - 1)}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 6 - x - - 1}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Associez les termes opposés dans $x - 6 - x - - 1$ .

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Étape 3.2.1.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 6 - - 1}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Soustrayez $6$ de $0$ .

$\frac{- 6 - - 1}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 6 + 1}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Additionnez $- 6$ et $1$ .

$\frac{- 5}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{{(x - 6)}^{2}}$