Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x - 1}{e^{x}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 1$ et $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{e^{x} (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{e^{x} \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 2.5.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{e^{x} - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - (x - 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x} + (- x - - 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x} - x e^{x} - - 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{e^{x} - x e^{x} + 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{e^{x} - x e^{x} + e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 4.3.2

Additionnez $e^{x}$ et $e^{x}$ .

$\frac{- x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 4.5

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x} x + 2 e^{x}$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (- x) + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 4.5.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2}{e^{2 x}}$

Étape 4.5.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{x} (- x + 2)}{e^{2 x}}$

Étape 4.6

Annulez le facteur commun à $e^{x}$ et $e^{2 x}$ .

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Étape 4.6.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $e^{x} (- x + 2)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x}}$

Étape 4.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.6.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Étape 4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{- x} (- x + 2)}{1}$

Étape 4.6.2.4

Divisez $e^{- x} (- x + 2)$ par $1$ .

$e^{- x} (- x + 2)$

Étape 4.7

Appliquez la propriété distributive.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 2$

Étape 4.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 2$

Étape 4.9

Déplacez $2$ à gauche de $e^{- x}$ .

$- e^{- x} x + 2 \cdot e^{- x}$

Étape 4.10

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{- x} x + 2 e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + 2 e^{- x}$