Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + y^{2}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + y^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

$y \frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y \frac{(x^{2} + y^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $x^{2} + y^{2}$ par $1$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 3.5

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 7

Additionnez $1$ et $1$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 8

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y \frac{- x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 9

Associez $y$ et $\frac{- x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$\frac{y (- x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y (- x^{2}) + y \cdot y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- y x^{2} + y \cdot y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 10.2.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.2.2.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 10.2.2.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{- y x^{2} + y^{1} y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 10.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- y x^{2} + y^{1 + 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 10.2.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- y x^{2} + y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{y^{3} - x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 10.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{3} - x^{2} y$ .

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Étape 10.4.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{3}$ .

$\frac{y \cdot y^{2} - x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 10.4.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- x^{2} y$ .

$\frac{y \cdot y^{2} + y (- x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 10.4.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y^{2} + y (- x^{2})$ .

$\frac{y (y^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 10.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = x$ .

$\frac{y (y + x) (y - x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$