Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x - 5}{x^{2} - 3 x + 15}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 5$ et $g (x) = x^{2} - 3 x + 15$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x + 15) \frac{d}{d x} [x - 5] - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x + 15) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x + 15) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x + 15) (1 + 0) - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x + 15) \cdot 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 2.4.2

Multipliez $x^{2} - 3 x + 15$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3 x + 15$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 2.7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 2.9

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 2.10

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x - 3 + 0)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 2.11

Additionnez $2 x - 3$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 + (- x - - 5) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 + (- x + 5) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Développez $(- x + 5) (2 x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - x (2 x) - x \cdot - 3 + 5 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - x (2 x) - x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} - x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} + 3 x + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} + 3 x + 10 x + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.1.6

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} + 3 x + 10 x - 15}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.2

Additionnez $3 x$ et $10 x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} + 13 x - 15}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} + 13 x - 15$ .

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Étape 3.2.2.1

Soustrayez $15$ de $15$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 13 x + 0}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 13 x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 13 x}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x + 13 x}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 3.2.4

Additionnez $- 3 x$ et $13 x$ .

$\frac{- x^{2} + 10 x}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 3.3

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2} + 10 x$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + 10 x}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Factorisez $x$ à partir de $10 x$ .

$\frac{x (- x) + x \cdot 10}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- x) + x \cdot 10$ .

$\frac{x (- x + 10)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{x (- (x) + 10)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 3.5

Réécrivez $10$ comme $- 1 (- 10)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (- 10))}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{x (- (x - 10))}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 3.7

Réécrivez $- (x - 10)$ comme $- 1 (x - 10)$ .

$\frac{x (- 1 (x - 10))}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Étape 3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x (x - 10)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$