Calcul infinitésimal Exemples

$2 \sin^{2} (3 x)$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin^{2} (3 x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (3 x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (3 x)$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (3 x)$ .

$2 (2 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Étape 3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$4 \sin (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 4.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$4 \sin (3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$4 \sin (3 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sin (3 x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 \sin (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 \sin (3 x) \cos (3 x) \cdot 1$

Étape 5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1

Multipliez $12$ par $1$ .

$12 \sin (3 x) \cos (3 x)$

Étape 5.4.2

Réorganisez les facteurs de $12 \sin (3 x) \cos (3 x)$ .

$12 \cos (3 x) \sin (3 x)$