Calcul infinitésimal Exemples

$10 x {(x^{2} + 4)}^{4}$

Étape 1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x {(x^{2} + 4)}^{4}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 4)}^{4}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 4)}^{4}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} + 4)}^{4}$ .

$10 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{4}] + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x^{2} + 4$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 4$ .

$10 (x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$10 (x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 4$ .

$10 (x (4 {(x^{2} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$10 (x (4 {(x^{2} + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$10 (x (4 {(x^{2} + 4)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [4])) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$10 (x (4 {(x^{2} + 4)}^{3} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$10 (x (4 {(x^{2} + 4)}^{3} (2 x)) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$10 (x (8 {(x^{2} + 4)}^{3} x) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$10 (x^{1} x (8 {(x^{2} + 4)}^{3}) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$10 (x^{1} x^{1} (8 {(x^{2} + 4)}^{3}) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 (x^{1 + 1} (8 {(x^{2} + 4)}^{3}) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8

Additionnez $1$ et $1$ .

$10 (x^{2} (8 {(x^{2} + 4)}^{3}) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 (x^{2} (8 {(x^{2} + 4)}^{3}) + {(x^{2} + 4)}^{4} \cdot 1)$

Étape 10

Multipliez ${(x^{2} + 4)}^{4}$ par $1$ .

$10 (x^{2} (8 {(x^{2} + 4)}^{3}) + {(x^{2} + 4)}^{4})$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$10 (x^{2} (8 {(x^{2} + 4)}^{3})) + 10 {(x^{2} + 4)}^{4}$

Étape 11.2

Multipliez $8$ par $10$ .

$80 (x^{2} ({(x^{2} + 4)}^{3})) + 10 {(x^{2} + 4)}^{4}$

Étape 11.3

Factorisez $10 {(x^{2} + 4)}^{3}$ à partir de $80 x^{2} {(x^{2} + 4)}^{3} + 10 {(x^{2} + 4)}^{4}$ .

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Étape 11.3.1

Factorisez $10 {(x^{2} + 4)}^{3}$ à partir de $80 x^{2} {(x^{2} + 4)}^{3}$ .

$10 {(x^{2} + 4)}^{3} (8 x^{2}) + 10 {(x^{2} + 4)}^{4}$

Étape 11.3.2

Factorisez $10 {(x^{2} + 4)}^{3}$ à partir de $10 {(x^{2} + 4)}^{4}$ .

$10 {(x^{2} + 4)}^{3} (8 x^{2}) + 10 {(x^{2} + 4)}^{3} (x^{2} + 4)$

Étape 11.3.3

Factorisez $10 {(x^{2} + 4)}^{3}$ à partir de $10 {(x^{2} + 4)}^{3} (8 x^{2}) + 10 {(x^{2} + 4)}^{3} (x^{2} + 4)$ .

$10 {(x^{2} + 4)}^{3} (8 x^{2} + x^{2} + 4)$

Étape 11.4

Additionnez $8 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$10 {(x^{2} + 4)}^{3} (9 x^{2} + 4)$