Calcul infinitésimal Exemples

$3 x \sin (x) \cos (x)$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x \sin (x) \cos (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x \sin (x) \cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x \sin (x) \cos (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x \sin (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$3 (x \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Étape 3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$3 (x \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Étape 4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$3 (x (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Étape 5

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$3 (x (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (x (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Étape 7

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 (x (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$3 (x (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 9

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$3 (x (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 10.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (x (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1))$

Étape 10.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$3 (x (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)))$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x))$

Étape 11.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x (- \sin^{2} (x))) + 3 (\cos (x) (x \cos (x))) + 3 (\cos (x) \sin (x))$

Étape 11.3

Associez des termes.

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Étape 11.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 (x (\sin^{2} (x))) + 3 (\cos (x) (x \cos (x))) + 3 (\cos (x) \sin (x))$

Étape 11.3.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- 3 x \sin^{2} (x) + 3 (x (\cos^{1} (x) \cos (x))) + 3 (\cos (x) \sin (x))$

Étape 11.3.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- 3 x \sin^{2} (x) + 3 (x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) + 3 (\cos (x) \sin (x))$

Étape 11.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 x \sin^{2} (x) + 3 (x {\cos (x)}^{1 + 1}) + 3 (\cos (x) \sin (x))$

Étape 11.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 3 x \sin^{2} (x) + 3 x \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x)$