Calcul infinitésimal Exemples

$3 \ln (\frac{1}{x})$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \ln (\frac{1}{x})$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{x}$ .

$3 (1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 4.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$3 x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$3 x (- x^{- 2})$

Étape 6

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 x \cdot x^{- 2}$

Étape 7

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1

Déplacez $x^{- 2}$ .

$- 3 (x^{- 2} x)$

Étape 7.2

Multipliez $x^{- 2}$ par $x$ .

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Étape 7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 3 (x^{- 2} x^{1})$

Étape 7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 x^{- 2 + 1}$

Étape 7.3

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$- 3 x^{- 1}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x}$

Étape 8.2

Associez des termes.

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Étape 8.2.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 3}{x}$

Étape 8.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{x}$