Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{12} e^{x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{12} e^{x})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{12}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{12} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{12} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 12$ .

$x^{12} e^{x} + e^{x} (12 x^{11})$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{12} + 12 e^{x} x^{11}$

Étape 3.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{12} + 12 e^{x} x^{11}$ .

$x^{12} e^{x} + 12 x^{11} e^{x}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = x^{12} e^{x} + 12 x^{11} e^{x}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{12} e^{x} + 12 x^{11} e^{x}$