Calcul infinitésimal Exemples

$x^{\frac{2}{3}} {(6 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = {(6 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [{(6 - x)}^{\frac{1}{3}}] + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = 6 - x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 - x$ .

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 - x$ .

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} {(6 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} {(6 - x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} {(6 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} {(6 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} {(6 - x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} {(6 - x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} {(6 - x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(6 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{{(6 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 7.3

Placez ${(6 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 7.4

Associez $\frac{1}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ et $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [6 - x] + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 9

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- 1 \cdot 1) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 13

Associez les fractions.

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Étape 13.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 1 + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 13.2

Associez $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ et $- 1$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot - 1}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 13.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.3.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- 1 \cdot x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 13.3.2

Réécrivez $- 1 x^{\frac{2}{3}}$ comme $- x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 13.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Étape 15

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 16

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 18.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Étape 18.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Étape 19

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Étape 20

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 21

Associez ${(6 - x)}^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(6 - x)}^{\frac{1}{3}} (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Étape 22

Simplifiez l’expression.

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Étape 22.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(6 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 \cdot {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 22.2

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 23

Pour écrire $- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 24

Pour écrire $\frac{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{{(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 25

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 25.1

Multipliez $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{{(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 25.2

Multipliez $\frac{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ par $\frac{{(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 25.3

Réorganisez les facteurs de $3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 26

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} + 2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 27

Multipliez $x^{\frac{2}{3}}$ par $x^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 27.1

Déplacez $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{- (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}) + 2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 27.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + 2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 27.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x^{\frac{1 + 2}{3}} + 2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 27.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- x^{\frac{3}{3}} + 2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 27.5

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{- x^{1} + 2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 28

Simplifiez $- x^{1}$ .

$\frac{- x + 2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 29

Multipliez ${(6 - x)}^{\frac{1}{3}}$ par ${(6 - x)}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 29.1

Déplacez ${(6 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- x + 2 ({(6 - x)}^{\frac{2}{3}} {(6 - x)}^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 29.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- x + 2 {(6 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 29.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x + 2 {(6 - x)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 29.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{- x + 2 {(6 - x)}^{\frac{3}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 29.5

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{- x + 2 {(6 - x)}^{1}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 30

Simplifiez $2 {(6 - x)}^{1}$ .

$\frac{- x + 2 (6 - x)}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 31

Simplifiez

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Étape 31.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x + 2 \cdot 6 + 2 (- x)}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 31.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 31.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 31.2.1.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{- x + 12 + 2 (- x)}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 31.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- x + 12 - 2 x}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 31.2.2

Soustrayez $2 x$ de $- x$ .

$\frac{- 3 x + 12}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 31.3

Associez des termes.

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Étape 31.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{3 (- x) + 12}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 31.3.2

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{3 (- x) + 3 \cdot 4}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 31.3.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x) + 3 (4)$ .

$\frac{3 (- x + 4)}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 31.3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 31.3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (- x + 4)}{3 (x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

Étape 31.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- x + 4)}{3 (x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

Étape 31.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x + 4}{x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 31.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) + 4}{x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 31.5

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 4)}{x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 31.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x - 4)}{x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 31.7

Réécrivez $- (x - 4)$ comme $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{- 1 (x - 4)}{x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 31.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x - 4}{x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$