Calcul infinitésimal Exemples

$x^{\frac{2}{x}}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 1.1

Réécrivez $x^{\frac{2}{x}}$ comme $e^{\ln (x^{\frac{2}{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\frac{2}{x}})}]$

Étape 1.2

Développez $\ln (x^{\frac{2}{x}})$ en déplaçant $\frac{2}{x}$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{2}{x} \ln (x)}]$

Étape 2

Associez $\frac{2}{x}$ et $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{2 \ln (x)}{x}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{2 \ln (x)}{x}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{2 \ln (x)}{x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 \ln (x)}{x}]$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{2 \ln (x)}{x}]$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 \ln (x)}{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Étape 6

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 7.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Étape 7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}})$

Étape 7.4

Associez les fractions.

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Étape 7.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}})$

Étape 7.4.2

Associez $2$ et $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} \frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Étape 7.4.3

Associez $e^{\frac{2 \ln (x)}{x}}$ et $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (1 - \ln (x)))}{x^{2}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \cdot 1 + 2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \cdot 1) + e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} (2 \cdot 1) + e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \cdot 2 + e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}$ .

$\frac{2 \cdot e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} + e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} + 2 \cdot - 1 e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - 2 e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.6

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - 2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.7

Multipliez $- 2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \ln (x)$ .

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Étape 8.3.1.7.1

Remettez dans l’ordre $\ln (x)$ et $- 2$ .

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - 2 \cdot \ln (x) e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.7.2

Simplifiez $- 2 \cdot \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - \ln (x^{2}) e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}}{x^{2}}$

Étape 8.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - \ln (x^{2}) e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}$ .

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \ln (x^{2})}{x^{2}}$

Étape 8.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \ln (x^{2}) + 2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}}{x^{2}}$