Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt[3]{x} (x + 5)$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} (x + 5)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x + 5$ .

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5] + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3.4.2

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Étape 7.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Étape 9

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 10

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 5) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{\frac{1}{3}} + x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 5 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2

Associez des termes.

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Étape 11.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 5 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.2

Placez $x^{\frac{2}{3}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 5 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.3

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.3.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{2}{3}}$ .

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Étape 11.2.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 5 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} + 5 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + 5 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} + 5 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.3.4

Soustrayez $2$ de $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + 5 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.4

Associez $5$ et $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.5

Pour écrire $x^{\frac{1}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.6

Associez $x^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.8

Déplacez $3$ à gauche de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.9

Additionnez $3 x^{\frac{1}{3}}$ et $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$