Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{1 - x^{2}} \arcsin (x)$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - x^{2}}$ comme ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \arcsin (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = \arcsin (x)$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

La dérivée de $\arcsin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4

Associez ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x^{2}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{2}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 10

Associez les fractions.

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Étape 10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 10.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 10.3

Placez ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 10.4

Associez $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $\arcsin (x)$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 12

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 13

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 14

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Étape 16

Simplifiez les termes.

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Étape 16.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Étape 16.2

Associez $- 2$ et $\frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{- 2 \arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Étape 16.3

Associez $\frac{- 2 \arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{- 2 \arcsin (x) x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \arcsin (x) x$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{2 (- \arcsin (x) x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{2 (- \arcsin (x) x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 17.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{2 (- \arcsin (x) x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{- \arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19

Pour écrire $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 20

Pour écrire $- \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 21

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\sqrt{1 - x^{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 21.1

Multipliez $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ par $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 21.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - x^{2}}$ comme ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 21.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 21.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 21.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 21.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 21.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 21.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 21.7

Multipliez $\frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 21.8

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - x^{2}}$ comme ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 21.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Étape 21.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 21.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 21.12.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 21.12.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Étape 22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Étape 23

Multipliez ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 23.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Étape 23.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Étape 23.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Étape 23.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{1} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Étape 24

Simplifiez ${(1 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{1 - x^{2} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Étape 25

Simplifiez

$\frac{1 - x^{2} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - x^{2}}$

Étape 26

Simplifiez

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Étape 26.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 26.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 26.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1 - x^{2} - \arcsin (x) x \sqrt{1^{2} - x^{2}}}{1 - x^{2}}$

Étape 26.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{1 - x^{2} - \arcsin (x) x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1 - x^{2}}$

Étape 26.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $1 - x^{2} - \arcsin (x) x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{1 - x^{2} - x \arcsin (x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1 - x^{2}}$

Étape 26.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} - x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \arcsin (x) + 1}{- x^{2} + 1}$