Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{\arctan (x)}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\arctan (x)}$ comme ${\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = \arctan (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\arctan (x)$ .

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${\arctan (x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\arctan (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Étape 7.3

Placez ${\arctan (x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Étape 8

La dérivée de $\arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$

Étape 9

Multipliez $\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 10.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2 x^{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.4

Factorisez $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $2 x^{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 10.4.1

Factorisez $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $2 x^{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2}) + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.4.2

Factorisez $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2}) + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (1)}$

Étape 10.4.3

Factorisez $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2}) + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (1)$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$