Calcul infinitésimal Exemples

$\log (x^{3} + 1)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \log (x)$ et $g (x) = x^{3} + 1$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 1.2

La dérivée de $\log (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} + 1$ .

$\frac{1}{(x^{3} + 1) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{(x^{3} + 1) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{(x^{3} + 1) \ln (10)} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{(x^{3} + 1) \ln (10)} (3 x^{2} + 0)$

Étape 2.4

Associez les fractions.

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Étape 2.4.1

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{(x^{3} + 1) \ln (10)} (3 x^{2})$

Étape 2.4.2

Associez $3$ et $\frac{1}{(x^{3} + 1) \ln (10)}$ .

$\frac{3}{(x^{3} + 1) \ln (10)} x^{2}$

Étape 2.4.3

Associez $\frac{3}{(x^{3} + 1) \ln (10)}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{(x^{3} + 1) \ln (10)}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2}}{x^{3} \ln (10) + 1 \ln (10)}$

Étape 3.2

Multipliez $\ln (10)$ par $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{3} \ln (10) + \ln (10)}$