Calcul infinitésimal Exemples

$e^{3 \ln (x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 \ln (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 \ln (x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [3 \ln (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 \ln (x)$ .

$e^{3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [3 \ln (x)]$

Étape 2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$e^{3 \ln (x)} (3 \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{3 \ln (x)} (3 \frac{1}{x})$

Étape 4

Associez les fractions.

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Étape 4.1

Associez $3$ et $\frac{1}{x}$ .

$e^{3 \ln (x)} \frac{3}{x}$

Étape 4.2

Associez $e^{3 \ln (x)}$ et $\frac{3}{x}$ .

$\frac{e^{3 \ln (x)} \cdot 3}{x}$

Étape 4.3

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 \ln (x)}$ .

$\frac{3 \cdot e^{3 \ln (x)}}{x}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Simplifiez $3 \ln (x)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{3 e^{\ln (x^{3})}}{x}$

Étape 5.1.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\frac{3 x^{3}}{x}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{3}$ .

$\frac{x (3 x^{2})}{x}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (3 x^{2})}{x^{1}}$

Étape 5.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1}$

Étape 5.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1}$

Étape 5.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{2}}{1}$

Étape 5.2.2.5

Divisez $3 x^{2}$ par $1$ .

$3 x^{2}$