Calcul infinitésimal Exemples

$\sin^{3} (x) \cos (x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin^{3} (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Étape 2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Étape 3

Multipliez $\sin^{3} (x)$ par $\sin (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Déplacez $\sin (x)$ .

$\sin (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Étape 3.2

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{3} (x)$ .

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Étape 3.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Étape 3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sin (x)}^{1 + 3} \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Étape 3.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$\sin^{4} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sin^{4} (x)$ .

$- 1 \cdot \sin^{4} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Étape 4.2

Réécrivez $- 1 \sin^{4} (x)$ comme $- \sin^{4} (x)$ .

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 6

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (x)$ .

$- \sin^{4} (x) + 3 \cdot \cos (x) \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 7

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- \sin^{4} (x) + 3 \cos (x) \sin^{2} (x) \cos (x)$

Étape 8

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- \sin^{4} (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos (x)) \sin^{2} (x)$

Étape 9

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- \sin^{4} (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) \sin^{2} (x)$

Étape 10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \sin^{4} (x) + 3 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin^{2} (x)$

Étape 11

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \sin^{4} (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Étape 12

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$