Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sin (x) + \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 5

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Étape 6

Multipliez.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + 1 (\sin (x) + \cos (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 6.2

Multipliez $\sin (x) + \cos (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.1

Associez les termes opposés dans $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x)$ .

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Étape 7.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\cos (x) (- \sin (x))$ et $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7.3.1.2

Additionnez $- \cos (x) \sin (x)$ et $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) + 0}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7.3.1.3

Additionnez $\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)$ et $0$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.2.1

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 7.3.2.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7.3.2.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7.3.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7.3.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7.3.2.2

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 7.3.2.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7.3.2.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7.3.2.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7.3.2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7.3.3

Réorganisez les termes.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7.3.4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7.4

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ à $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$