Calcul infinitésimal Exemples

$\sin^{2} (π x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (π x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (π x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (π x)$ .

$2 \sin (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = π x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $π x$ .

$2 \sin (π x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x])$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (π x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $π x$ .

$2 \sin (π x) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (π x) \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \sin (π x) \cos (π x) (π \cdot 1)$

Étape 3.3

Multipliez $π$ par $1$ .

$2 \sin (π x) \cos (π x) π$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réorganisez les facteurs de $2 \sin (π x) \cos (π x) π$ .

$2 π \cos (π x) \sin (π x)$

Étape 4.2

Ajoutez des parenthèses.

$2 π (\cos (π x) \sin (π x))$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $2 π$ et $\cos (π x) \sin (π x)$ .

$\cos (π x) \sin (π x) (2 π)$

Étape 4.4

Ajoutez des parenthèses.

$\cos (π x) (\sin (π x) \cdot 2) π$

Étape 4.5

Remettez dans l’ordre $\cos (π x)$ et $\sin (π x) \cdot 2$ .

$\sin (π x) \cdot 2 \cos (π x) π$

Étape 4.6

Remettez dans l’ordre $\sin (π x)$ et $2$ .

$2 \cdot \sin (π x) \cos (π x) π$

Étape 4.7

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (2 (π x)) π$

Étape 4.8

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\sin (2 π x) π$ .

$π \sin (2 π x)$