Calcul infinitésimal Exemples

$e^{\frac{2}{x}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{2}{x}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{2}{x}$ .

$e^{\frac{2}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$e^{\frac{2}{x}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$e^{\frac{2}{x}} (2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$e^{\frac{2}{x}} (2 (- x^{- 2}))$

Étape 2.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e^{\frac{2}{x}} (- 2 x^{- 2})$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{\frac{2}{x}} (- 2 \frac{1}{x^{2}})$

Étape 3.2

Associez des termes.

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Étape 3.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$e^{\frac{2}{x}} \frac{- 2}{x^{2}}$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{\frac{2}{x}} (- \frac{2}{x^{2}})$

Étape 3.2.3

Associez $e^{\frac{2}{x}}$ et $\frac{2}{x^{2}}$ .

$- \frac{e^{\frac{2}{x}} \cdot 2}{x^{2}}$

Étape 3.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $e^{\frac{2}{x}}$ .

$- \frac{2 e^{\frac{2}{x}}}{x^{2}}$