Calcul infinitésimal Exemples

$e^{2 x - x^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x - x^{2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - x^{2}$ .

$e^{2 x - x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$e^{2 x - x^{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x - x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{2 x - x^{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$e^{2 x - x^{2}} (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{2 x - x^{2}} (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{2 x - x^{2}} (2 - (2 x))$

Étape 2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{2 x - x^{2}} (2 - 2 x)$