Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{54 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1

Comme $54$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{54 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$ par rapport à $x$ est $54 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(25 - x^{2})}^{2}}]$ .

$54 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(25 - x^{2})}^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(25 - x^{2})}^{2}$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{({(25 - x^{2})}^{2})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${({(25 - x^{2})}^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Étape 3.3

Multipliez ${(25 - x^{2})}^{2}$ par $1$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 25 - x^{2}$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $25 - x^{2}$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $25 - x^{2}$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x (2 (25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Étape 5.2

Factorisez $25 - x^{2}$ à partir de ${(25 - x^{2})}^{2} - 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $25 - x^{2}$ à partir de ${(25 - x^{2})}^{2}$ .

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2}) - 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Étape 5.2.2

Factorisez $25 - x^{2}$ à partir de $- 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])$ .

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2}) + (25 - x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Étape 5.2.3

Factorisez $25 - x^{2}$ à partir de $(25 - x^{2}) (25 - x^{2}) + (25 - x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))$ .

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Étape 6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1

Factorisez $25 - x^{2}$ à partir de ${(25 - x^{2})}^{4}$ .

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{(25 - x^{2}) {(25 - x^{2})}^{3}}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{(25 - x^{2}) {(25 - x^{2})}^{3}}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Étape 7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $25 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Étape 8

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Étape 9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Étape 11

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$54 \frac{25 - x^{2} + 2 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Étape 12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$54 \frac{25 - x^{2} + 2 x (2 x)}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Étape 13

Multipliez $2$ par $2$ .

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 x \cdot x}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Étape 14

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 (x^{1} x)}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Étape 15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 (x^{1} x^{1})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Étape 16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 x^{1 + 1}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Étape 17

Additionnez $1$ et $1$ .

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Étape 18

Additionnez $- x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$54 \frac{25 + 3 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Étape 19

Associez $54$ et $\frac{25 + 3 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$ .

$\frac{54 (25 + 3 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Étape 20

Simplifiez

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Étape 20.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{54 \cdot 25 + 54 (3 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Étape 20.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.2.1

Multipliez $54$ par $25$ .

$\frac{1350 + 54 (3 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Étape 20.2.2

Multipliez $3$ par $54$ .

$\frac{1350 + 162 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Étape 20.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{162 x^{2} + 1350}{{(- x^{2} + 25)}^{3}}$