Calcul infinitésimal Exemples

$5^{- \frac{1}{x}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 5^{x}$ et $g (x) = - \frac{1}{x}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [5^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $5$ .

$5^{u} \ln (5) \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{1}{x}$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.3

Multipliez.

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Étape 3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.3.2

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $0$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (x^{- 2} + 0)$

Étape 3.5.2

Additionnez $x^{- 2}$ et $0$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) x^{- 2}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réorganisez les facteurs de $5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) x^{- 2}$ .

$5^{- \frac{1}{x}} x^{- 2} \ln (5)$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \frac{1}{x^{2}} \ln (5)$

Étape 4.3

Associez $5^{- \frac{1}{x}}$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{5^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} \ln (5)$

Étape 4.4

Associez $\frac{5^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$ et $\ln (5)$ .

$\frac{5^{- \frac{1}{x}} \ln (5)}{x^{2}}$