Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{3 x - 7}{2 x + 9}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 x - 7$ et $g (x) = 2 x + 9$ .

$\frac{(2 x + 9) \frac{d}{d x} [3 x - 7] - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 9]}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{(2 x + 9) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 9]}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 9) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 9]}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 9) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 9]}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{(2 x + 9) (3 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 9]}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(2 x + 9) (3 + 0) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 9]}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{(2 x + 9) \cdot 3 - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 9]}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $2 x + 9$ .

$\frac{3 \cdot (2 x + 9) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [2 x + 9]}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{3 (2 x + 9) - (3 x - 7) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [9])}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Étape 2.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 (2 x + 9) - (3 x - 7) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3 (2 x + 9) - (3 x - 7) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Étape 2.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{3 (2 x + 9) - (3 x - 7) (2 + \frac{d}{d x} [9])}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Étape 2.11

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 (2 x + 9) - (3 x - 7) (2 + 0)}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Étape 2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.12.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{3 (2 x + 9) - (3 x - 7) \cdot 2}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Étape 2.12.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 (2 x + 9) - 2 (3 x - 7)}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 9 - 2 (3 x - 7)}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 9 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 7}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Associez les termes opposés dans $3 (2 x) + 3 \cdot 9 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 7$ .

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Étape 3.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $3 (2 x)$ et $- 2 (3 x)$ .

$\frac{2 \cdot 3 x + 3 \cdot 9 - 2 \cdot 3 x - 2 \cdot - 7}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Soustrayez $2 \cdot 3 x$ de $2 \cdot 3 x$ .

$\frac{3 \cdot 9 + 0 - 2 \cdot - 7}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Additionnez $3 \cdot 9$ et $0$ .

$\frac{3 \cdot 9 - 2 \cdot - 7}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{27 - 2 \cdot - 7}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 7$ .

$\frac{27 + 14}{{(2 x + 9)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Additionnez $27$ et $14$ .

$\frac{41}{{(2 x + 9)}^{2}}$