Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2}}$

Étape 1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 3 x$ .

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot x - 3 x}{x^{2}}]$

Étape 1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot x + x \cdot - 3}{x^{2}}]$

Étape 1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x - 3)}{x^{2}}]$

Étape 2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x - 3)}{x \cdot x}]$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x - 3)}{x \cdot x}]$

Étape 2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 3$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x - (x - 3) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 4.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x - (x - 3)}{x^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - x - - 3}{x^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 - - 3}{x^{2}}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $- 3$ de $0$ .

$\frac{- - 3}{x^{2}}$

Étape 5.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{3}{x^{2}}$