Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e^{5 x}}{x^{15}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{5 x}$ et $g (x) = x^{15}$ .

$\frac{x^{15} \frac{d}{d x} [e^{5 x}] - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{{(x^{15})}^{2}}$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(x^{15})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{15} \frac{d}{d x} [e^{5 x}] - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{15 \cdot 2}}$

Étape 2.2

Multipliez $15$ par $2$ .

$\frac{x^{15} \frac{d}{d x} [e^{5 x}] - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x$ .

$\frac{x^{15} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{x^{15} (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$\frac{x^{15} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{15} (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{15} (e^{5 x} (5 \cdot 1)) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{x^{15} (e^{5 x} \cdot 5) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Étape 4.3.2

Déplacez $5$ à gauche de $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{15} (5 \cdot e^{5 x}) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 15$ .

$\frac{x^{15} (5 e^{5 x}) - e^{5 x} (15 x^{14})}{x^{30}}$

Étape 4.5

Multipliez $15$ par $- 1$ .

$\frac{x^{15} (5 e^{5 x}) - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{5 x^{15} e^{5 x} - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

Étape 5.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $5 x^{15} e^{5 x} - 15 e^{5 x} x^{14}$ .

$\frac{5 x^{15} e^{5 x} - 15 x^{14} e^{5 x}}{x^{30}}$

Étape 5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5 e^{5 x} x^{15} - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

Étape 5.3

Factorisez $5 e^{5 x} x^{14}$ à partir de $5 e^{5 x} x^{15} - 15 e^{5 x} x^{14}$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $5 e^{5 x} x^{14}$ à partir de $5 e^{5 x} x^{15}$ .

$\frac{5 e^{5 x} x^{14} (x) - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

Étape 5.3.2

Factorisez $5 e^{5 x} x^{14}$ à partir de $- 15 e^{5 x} x^{14}$ .

$\frac{5 e^{5 x} x^{14} (x) + 5 e^{5 x} x^{14} (- 3)}{x^{30}}$

Étape 5.3.3

Factorisez $5 e^{5 x} x^{14}$ à partir de $5 e^{5 x} x^{14} (x) + 5 e^{5 x} x^{14} (- 3)$ .

$\frac{5 e^{5 x} x^{14} (x - 3)}{x^{30}}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun à $x^{14}$ et $x^{30}$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $x^{14}$ à partir de $5 e^{5 x} x^{14} (x - 3)$ .

$\frac{x^{14} (5 e^{5 x} (x - 3))}{x^{30}}$

Étape 5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.1

Factorisez $x^{14}$ à partir de $x^{30}$ .

$\frac{x^{14} (5 e^{5 x} (x - 3))}{x^{14} x^{16}}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{14} (5 e^{5 x} (x - 3))}{x^{14} x^{16}}$

Étape 5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 e^{5 x} (x - 3)}{x^{16}}$