Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e^{2 x} + 1}{e^{2 x} - 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{2 x} + 1$ et $g (x) = e^{2 x} - 1$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 1] - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{2 x} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 4.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (2 e^{2 x} + 0) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.5.1

Additionnez $2 e^{2 x}$ et $0$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (2 e^{2 x}) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 4.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x} - 1$ .

$\frac{2 \cdot (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 4.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{2 x} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 6.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 6.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (2 e^{2 x} + 0)}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 6.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.5.1

Additionnez $2 e^{2 x}$ et $0$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (2 e^{2 x})}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 6.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - 2 (e^{2 x} + 1) e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 e^{2 x} + 2 \cdot - 1) e^{2 x} - 2 (e^{2 x} + 1) e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 e^{2 x} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 e^{2 x} - 2 (e^{2 x} + 1) e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 e^{2 x} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 e^{2 x} + (- 2 e^{2 x} - 2 \cdot 1) e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 7.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 e^{2 x} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 e^{2 x} - 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 7.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.5.1

Associez les termes opposés dans $2 e^{2 x} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 e^{2 x} - 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x}$ .

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Étape 7.5.1.1

Soustrayez $2 e^{2 x} e^{2 x}$ de $2 e^{2 x} e^{2 x}$ .

$\frac{2 \cdot - 1 e^{2 x} + 0 - 2 \cdot 1 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 7.5.1.2

Additionnez $2 \cdot - 1 e^{2 x}$ et $0$ .

$\frac{2 \cdot - 1 e^{2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 7.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.5.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 e^{2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 7.5.2.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{- 2 e^{2 x} - 2 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 7.5.3

Soustrayez $2 e^{2 x}$ de $- 2 e^{2 x}$ .

$\frac{- 4 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 7.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Étape 7.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.7.1

Réécrivez $e^{2 x}$ comme ${(e^{x})}^{2}$ .

$- \frac{4 e^{2 x}}{{({(e^{x})}^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 7.7.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \frac{4 e^{2 x}}{{({(e^{x})}^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Étape 7.7.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e^{x}$ et $b = 1$ .

$- \frac{4 e^{2 x}}{{((e^{x} + 1) (e^{x} - 1))}^{2}}$

Étape 7.7.4

Appliquez la règle de produit à $(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)$ .

$- \frac{4 e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2} {(e^{x} - 1)}^{2}}$