Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e^{2 x}}{x^{6}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{2 x}$ et $g (x) = x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{{(x^{6})}^{2}}$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(x^{6})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{6 \cdot 2}}$

Étape 2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{x^{6} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{x^{6} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{x^{6} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{6} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{6} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{x^{6} (e^{2 x} \cdot 2) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Étape 4.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{6} (2 \cdot e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$\frac{x^{6} (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (6 x^{5})}{x^{12}}$

Étape 4.5

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{x^{6} (2 e^{2 x}) - 6 e^{2 x} x^{5}}{x^{12}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{6} e^{2 x} - 6 e^{2 x} x^{5}}{x^{12}}$

Étape 5.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 x^{6} e^{2 x} - 6 e^{2 x} x^{5}$ .

$\frac{2 x^{6} e^{2 x} - 6 x^{5} e^{2 x}}{x^{12}}$

Étape 5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 e^{2 x} x^{6} - 6 e^{2 x} x^{5}}{x^{12}}$

Étape 5.3

Factorisez $2 e^{2 x} x^{5}$ à partir de $2 e^{2 x} x^{6} - 6 e^{2 x} x^{5}$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $2 e^{2 x} x^{5}$ à partir de $2 e^{2 x} x^{6}$ .

$\frac{2 e^{2 x} x^{5} (x) - 6 e^{2 x} x^{5}}{x^{12}}$

Étape 5.3.2

Factorisez $2 e^{2 x} x^{5}$ à partir de $- 6 e^{2 x} x^{5}$ .

$\frac{2 e^{2 x} x^{5} (x) + 2 e^{2 x} x^{5} (- 3)}{x^{12}}$

Étape 5.3.3

Factorisez $2 e^{2 x} x^{5}$ à partir de $2 e^{2 x} x^{5} (x) + 2 e^{2 x} x^{5} (- 3)$ .

$\frac{2 e^{2 x} x^{5} (x - 3)}{x^{12}}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x^{12}$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $x^{5}$ à partir de $2 e^{2 x} x^{5} (x - 3)$ .

$\frac{x^{5} (2 e^{2 x} (x - 3))}{x^{12}}$

Étape 5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.1

Factorisez $x^{5}$ à partir de $x^{12}$ .

$\frac{x^{5} (2 e^{2 x} (x - 3))}{x^{5} x^{7}}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{5} (2 e^{2 x} (x - 3))}{x^{5} x^{7}}$

Étape 5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 e^{2 x} (x - 3)}{x^{7}}$