Calcul infinitésimal Exemples

${(6 e^{2 x} - x)}^{3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 6 e^{2 x} - x$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $6 e^{2 x} - x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [6 e^{2 x} - x]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [6 e^{2 x} - x]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $6 e^{2 x} - x$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} \frac{d}{d x} [6 e^{2 x} - x]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 e^{2 x} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [6 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (6 \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (6 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (6 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (6 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (6 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (12 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (12 e^{2 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 4.4

Multipliez $12$ par $1$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (12 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 4.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (12 e^{2 x} - \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (12 e^{2 x} - 1 \cdot 1)$

Étape 4.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (12 e^{2 x} - 1)$